С. Бесконечность Бесконечное в своем простом понятии может прежде всего считаться новым определением абсолютного; оно положено, как неопределенное отношение к себе, как бытию и становлению. Формы существования выпадают из ряда определений, которые могут считаться

с. Утвердительная бесконечность В вышеуказанном переходящем туда и сюда взаимном определении конечного и бесконечного истина их в себе уже дана, и требуется лишь признание того, что дано. Это колебание туда и сюда образует собою внешнюю реализацию понятия; в нем - но

С. Количественная бесконечность а. Ее понятие Определенное количество изменяется и становится другим определенным количеством; дальнейшее определение этого изменения, а именно, что оно продолжается в бесконечность, заключается в том, что определенное количество

с. Бесконечность определенного количества 1. Бесконечное определенное количество, как бесконечно большое или бесконечно малое, есть само по себе бесконечный прогресс; оно есть определенное количество, как большое или малое, и вместе небытие определенного количества.

Ж. Бесконечность времени Пребывать в бесконечности означает существовать без ограничений и. следовательно, в виде истока, начала, то есть это означает также быть сущим. Абсолютная недетерминированность И у а - существования без существующих - является непрерывным

Глава 20 Бесконечность Сложные философские вопросы – это вопросы, на которые невозможно ответить, исходя из общего опыта или на основе здравого смысла. Ответ на них требует постоянных размышлений и рассуждений.Как возникают такие вопросы? Для Аристотеля они появлялись

Глава 20. Действительная и потенциальная бесконечность (Бесконечность) Критика теории атомистов.Физика, книга I, глава 2.О небе, книга III, глава 4; книга IV, глава 2.Учение Аристотеля о бесконечной делимости непрерывных величин и материи.Физика, книга III, главы 1, 6, 7; книга V, глава

Бесконечност ь недостижима, следовательно, ее невозможно измерить. У нее отсутствует то, что древние греки именовали метрон , поэтому она принадлежит к категории хаоса. По этой причине Платон и Пифагор называли бесконечность апейрон . Позднее Анаксимандр придал этому слову смысл, схожий с тем, что подразумеваем под этим понятием мы, - «беспредельный».

Однако наиболее смело и систематично с проблемой работал Аристотель, определив в своем труде « Физика» два разных типа бесконечности: потенциальную бесконечность - неостановимый процесс роста, и актуальную бесконечность - реально существующую величину, не имеющую конечной меры. Математики долго спорили об этих определениях, пока Кантор не доказал математически существование бесконечного числа актуальных бесконечностей с помощью инструмента, который создал сам - теории множеств.

Слова, обозначающие два различных типа бесконечности, не совсем удачны или по меньшей мере неинтуитивны.
Возможно, более уместно (но тоже не совсем удобно) было бы называть актуальную бесконечность теоретической , а потенциальную бесконечность - истинной бесконечностью .

Рассмотрим разницу между этими понятиями на примере. Последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, 4,… бесконечна. Изначально никто не подвергает это сомнению, поскольку для любого сколь угодно большого числа n мы всегда можем получить следующее число, n+1. Но одно дело - иметь возможность выполнить подобное действие, и совсем другое - сделать это в реальности и получить результат. Это очень тонкое различие. «Иметь возможность выполнить действие» определяет потенциальную бесконечность, полученный результат такого действия - актуальную бесконечность.

Покинем на время мир математики, чтобы в более свободной форме объяснить разницу между этими понятиями. Предположим, что я нарисовал перед собой на полу прямую. Если я сделаю шаг вперед, то перешагну ее. Это потенциально возможное действие . Когда я выполнил это действие и оказался по другую сторону прямой, я актуализировал этот потенциал. Существует четкая разница между потенциально возможным действием и совершенным в действительности. Например, может случиться так, что я соберусь начать действие, но произойдет землетрясение и в полу образуется огромный разлом, который не даст мне перешагнуть прямую.

То, что никто не может записать все целые числа, - неоспоримый факт. Также верно, что никто никогда не видел двух параллельных прямых, поскольку прямые бесконечны и мы можем видеть лишь отрезки этих прямых. Значит ли это, что параллельные прямые не существуют? Они существуют настолько же, насколько существуют прямые вообще, но есть ли на самом деле бесконечная прямая? Евклид в своей знаменитой книге «Начала» пытался рассматривать эту тему: упоминая прямые, он говорил об «отрезках, длина которых может быть произвольно большой». Это весьма явная параллель с потенциальной бесконечностью.

Если спросить у человека как он представляет себе слово «бесконечность», то большинство людей, скажут что в их воображении это слово ассоциируется с понятием космос. Беспредельные темные просторы, миллионов галактик входящий одна в одну подобно матрешкам, расстояния такие, которые трудно представить человеческому разуму. Если верить гипотезам ученных, несмотря на столь колоссальные размеры, космос по прежнему расширяется, при этом скорость расширения вселенной растет, а не спадает. И увеличивается вселенная вот уже как тринадцать миллиардов лет (если верить ученым).

Давайте хоть приблизительно вычислим примерно-верный размер космоса на сегодня? Для всех критиков сразу делаем оговорку: расчет будет очень приблизительный, никто за абсолютной точностью не гонится. Возьмём, что скорость расширения вселенной равняется скорости света (на самом деле она немного иная, но пусть будет так), то есть космическое пространство покоряет новые площади со скорость 300 000 км/с. Умножаем данную величину на 3600 секунд, чтобы узнать расстояние на которое увеличивается космос за один час (1 080 000 000 км), затем множим на 24 (сутки) (25 920 000 000) затем на 365 (год) (9 460 800 000 000), а теперь на ориентировочный возраст вселенной (соответственно на 13 000 000 000) и получаем: (мой калькулятор не справился, поэтому считал вручную, возможно где-то ошибся) 122 990 400 000 000 000 000 000 км. Чем тебе не бесконечность?

Но я знаю (и вы тоже знаете, просто возможно не задумывались над этим) одно понятие, которое гораздо более бесконечное чем даже космос. И если б вы спросили у меня какие ассоциации возникают в моей голове, когда я слышу слово «бесконечность», я бы ответил что это «счет» или «исчисление» или просто «цифры». Вы когда-нибудь задумывались над тем, что считать можно бесконечно? Что в природе не существует самого большого числа? Что цифры это сама бесконечность ведь счёт не имеет конца…

И чтобы доказать что счет бесконечный (хотя это равносильно доказыванию что вода мокрая) я решил посчитать д! о какой цифры человек может досчитать в своей жизни. Расчет будет слегка утрированный и фантастичный. И так начнём…

Допустим, родился на свете супер вундеркинд который возрасте 0 лет 0 месяцев 0 дней 0 часов 0 минут и всего 1 секунда начал свой безумный счёт цифр. И решил посвятить этому занятию всю свою длинную жизнь. ведь прожил он ровно до своего столетия. Считал данный персонаж со скорость 1 минута = 100 последующих цифр, а в первую минуту жизни со скорость 59 секунд 100 цифр. И так в первый час данный субъект досчитал до 6000; в первые сутки до 144 000 (поразительно, но он имел уникальную способность считать во сне); за месяц до 4 320 000; за год до 51 840 000; за десять лет до 518 400 000; а остановился он на цифре 5 184 000 000 (молодец какой!).

Конечно, пять миллиардов с небольшим, намного меньше приблизительного размера космоса, поэтому, вы можете сказать, что космос более синонимичное слово к понятию бесконечность. Но я с вами не соглашусь, п отому что я легко (ну как легко…) могу перемножить данные величины и получить абсолютно новую величину, размерам которой позавидует даже вселенная. И вот это число-величина: 637 582 200 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 - вот она истинная бесконечность.

Актуальная бесконечность

Вот первый довод:

1. Актуальная бесконечность существовать не может.

2. Безначальный ряд временных событий представляет собой актуальную бесконечность.

3. Следовательно, безначальный ряд временных событий не может существовать.

Рассмотрим вначале первую посылку: Актуальная бесконечность не может существовать.

Что я имею в виду под актуальной бесконечностью? Множество объектов считается актуально бесконечным, если часть этого множества равна его целому. Так например, какой рад длиннее:

2,3,4,5,6,… или 0,1,2,3,4,5,6,…?

По общепринятым математическим представлениям, эти ряды эквивалентны, потому что они оба актуально бесконечны. Это кажется странным: ведь в правом ряду есть два числа, отсутствующие в левом. Но это лишь показывает, что в актуально бесконечном множестве часть (левый ряд) равна целому (правый ряд).

По той же причине математики утверждают, что ряд чётных чисел равен ряду натуральных чисел - несмотря на то, что ряд всех натуральных чисел содержит все чётные плюс бесконечное число нечётных чисел.

1,2,3,4,5,6,7,8,…

При этом не надо смешивать понятия актуальной бесконечности - и потенциальной бесконечности.

По мнению великого немецкого математика Давида Гилберта, главное различие между актуальной и потенциальной бесконечностью заключается вот в чём. Потенциально бесконечное есть всегда нечто возрастающее и имеющее пределом бесконечность, тогда как актуальная бесконечность - это завершённое целое, в действительности содержащее бесконечное число предметов.

Интересным примером этих двух типов бесконечности могут послужить два ряда событий: произошедших до и после какой-либо точки в прошлом.

Возьмём, например, момент в 1845 г., когда родился Георг Кантор, отец теории множеств.

В обоих случаях мы имеем в виду события, действительно случившиеся.

Точка, называемая «настоящее время», разумеется, не стоит на месте, а скользит вперёд. (По сути дела, это граница между событиями уже реализованными и ещё не реализованными.) Поэтому количество событий «после» (т. е. между 1845 г. и настоящим временем), хотя и в каждый конкретный момент конечное, постоянно возрастает. Оно никогда не реализовано до конца, и потому потенциально бесконечно.

Но ряд событий «до» полностью реализован, завершён и не возрастает. И если атеисты правы, и у Вселенной не было начала, то такой ряд бесконечен. Бесконечен актуально, реально.

В ходе наших рассуждений очень важно эти два понятия (актуальной и потенциальной бесконечности) не путать.

Второе пояснение касается слова «существовать». Когда я говорю, что актуальная бесконечность не может существовать, я имею в виду - существовать в реальном мире, или существовать не только в уме. Я вовсе не отрицаю законность использования понятия актуальной бесконечности в математике (оперирующей лишь мысленной реальностью). Я лишь утверждаю, что актуальная бесконечность не может существовать в физическом мире звёзд, планет, камней и людей.

Несколько примеров покажут абсурдность такого допущения.

Допустим, что существует библиотека, содержащая реально бесконечное число книг. Представим себе, что книги в ней только двух цветов, чёрного и красного, и что они стоят на полках, чередуясь: чёрная, красная, чёрная, красная, и т.д. Если кто-то скажет нам, что число чёрных книг равно числу красных, мы, вероятно, не удивимся. Но поверим ли мы, если нам скажут, что число чёрных книг равно числу чёрных и красных книг вместе? Ведь в таком собрании мы обнаружим все чёрные книги плюс бесконечное число красных книг!

Или же представим себе, что у нас есть книги трёх цветов, четырёх, пяти или даже ста. Поверим ли мы, что книг одного цвета столько же, сколько всего книг в библиотеке?

Или вообразите, что в библиотеке бесконечное число цветов книг. Можно предположить, что в бесконечно большой библиотеке будет приходиться по одной книге на каждый из бесконечного числа цветов. Но это не обязательно так. Как утверждают математики, если число книг действительно бесконечно, то на каждый из бесконечного числа цветов может прийтись и бесконечное количество книг. Таким образом мы получаем бесконечность бесконечностей! И тем не менее, если мы возьмём все книги всех цветов, их окажется не больше, чем книг только одного цвета.

Продолжим наши рассуждения. Предположим, что у каждой книги на корешке отпечатан номер. Поскольку библиотека реально бесконечна, каждое возможное число отпечатано на какой-либо из книг. Поэтому мы не можем добавить к библиотеке ещё одну книгу, ибо какой номер ей дать? Всё номера уже заняты. Таким образом, новой книге нельзя дать номера! Но это абсурд, так как в действительности предметы всегда можно нумеровать.

Если бы бесконечная библиотека существовала, то к ней невозможно было бы добавить ещё одну книгу. (Не потому ли, что она уже включала бы все существующие книги, и новую просто неоткуда было бы взять? Нет, ведь достаточно вырвать по листку из каждой книги первой сотни, склеить их вместе, поставить эту новую книгу на полку, и всё - библиотека пополнена!) Поэтому напрашивается единственно возможный вывод: библиотека, актуально бесконечная, - существовать не может.

Но предположим, что мы можем пополнить эту библиотеку, и я ставлю книгу на полку. По утверждению математиков, число книг в библиотеке осталось прежним. Как это может быть? Ведь мои опыт говорит: если я поставил книгу на полку, то там стало книгой больше, а если снял, то одной меньше.

Мне легко вообразить себя, ставящего и снимающего эту книгу. Должен ли я впрямь всерьёз поверить, что когда я добавляю книги, их число не увеличивается, а когда убираю - не уменьшается? А если я добавлю к этой библиотеке бесконечное число или даже бесконечность бесконечностей книг? Неужели и теперь в библиотеке ни на одну книгу не больше, чем прежде? Мне в это трудно поверить. А вам?

А теперь давайте, наоборот, выдавать книги из библиотеки. Предположим, в понедельник мы выдали книгу номер восемь. Разве число книг не уменьшилось на одну?

Во вторник - выдадим все книги с нечётными номерами. Ушло бесконечное число книг, но математики скажут, что в библиотеке книг меньше не стало.

Допустим, что в среду мы выдали книги за номерами 4, 5, 6,.. и до бесконечности. Единым махом библиотека практически вся опустела, бесконечное число книг сведено к конечному: к трём. Но позвольте, ведь мы на этот раз выдали столько же книг, что и во вторник! Почему же такая разница? И кто поверит, что такая библиотека может на самом деле существовать?

Все эти примеры иллюстрируют тот факт, что актуальная бесконечность не может иметь места в физическом мире. Я вновь хочу подчеркнуть: это ничем не грозит теоретической системе, введённой в современную математику Г. Кантором. Больше того: даже такие энтузиасты математических теорий бесконечного, как Д. Гилберт, охотно соглашаются с тем, что понятие актуальной бесконечности - это только идея, не имеющая никакого отношения к реальному миру. Поэтому - мы вправе заключить: актуальная бесконечность существовать не может.

Вторая посылка: Ряд событий во времени, не имеющий начала, представляет собой актуальную бесконечность.

Под «событием» я подразумеваю любую перемену, происходящую в физическом мире. То есть: если ряд прошлых событий (или перемен) всё время уходит в прошлое и никогда не имеет начала, то в этом случае, взятые все вместе, эти события составляют актуально бесконечное множество.

Допустим, мы спрашиваем, откуда появилась такая-то звезда. Нам отвечают, что она появилась в результате взрыва звезды, существовавшей до этого. Тогда мы спрашиваем, откуда появилась та звезда? Она тоже возникла из звезды, существовавшей до неё. А эта звезда откуда? Из другой, предыдущей звезды - и так далее. Этот ряд звёзд будет примером безначального во времени ряда событий.

Тогда, если Вселенная существовала всегда, ряд всех событий прошлого в их совокупности составит актуальную бесконечность: потому что каждому событию в прошлом предшествовало другое событие. Таким образом, ряд прошлых событий будет бесконечным.

Но не будет ли он потенциально бесконечным? Нет, ибо мы видели, что прошлое завершено и актуально, - лишь будущее может быть охарактеризовано как потенциально бесконечное. Поэтому представляется очевидным, что безначальный ряд событий во времени является актуальной бесконечностью.

Это приводит нас к нужному заключению. безначальный ряд событий во времени существовать не может. (Мы установили ранее, что актуально бесконечное не может существовать в действительности. И если безначальный ряд временных событий есть актуальная бесконечность, то такой ряд не может существовать.)

Значит, ряд всех событий прошлого обязан иметь начало. Но ведь история Вселенной и есть ряд всех свершившихся событий! Поэтому у Вселенной должно быть начало.

Несколько примеров пояснят этот аргумент.

Мы знаем, что если бы актуальная бесконечность могла существовать в действительности, к ней невозможно было бы ничего прибавить. Но к ряду событий во времени происходят добавления каждый день - или, по крайней мере, нам так кажется. Если же этот ряд актуально бесконечен, то число событий, случившихся до настоящего момента, - не больше, чем. скажем, число событий до 1789 года или до любой другой точки в прошлом, сколь угодно далёкой.

Ещё пример. Вообразим, что вокруг Солнца уже целую вечность вращаются две планеты. Допустим, что одна проходит свою орбиту за три года, другая - за год. Таким образом, на каждый оборот одной приходятся три оборота другой. Вопрос: если они движутся вечно, которая из этих планет сделала больше орбитных оборотов? Ответ: обе сделали одинаковое число оборотов. Но это явный абсурд, ведь здравый смысл подсказывает: чем дольше они вращаются, тем сильнее увеличивается разрыв. Как же может число оборотов быть равным?

Или, наконец, допустим, что нам повстречался инопланетянин. Он утверждает, что целую вечность вёл счёт, и теперь кончает:…5, 4, 3, 2, 1, 0. Но мы можем спросить: почему он не кончил считать вчера7 Или даже год назад? Неужели ему не хватило времени? Как же так? Ведь и до прошлого года прошло бесконечное число лет - значит, времени у него было достаточно. Что же получается? Как бы далеко в прошлое мы ни углубились, мы никогда не застигнем его за счетом. Следовательно, не может быть истинным утверждение, что он занят этим всю вечность.

Эти примеры подчёркивают абсурдность идеи безначального ряда событий во времени. Поскольку такой ряд является актуально бесконечным, а актуальная бесконечность существовать не может, то и этот ряд невозможен. Это значит, что Вселенная когда-то начала своё существование, что и требовалось доказать.