Курсовая работа: Особые свойства Гамма-функции Эйлера. Гамма-излучение: понятие, источники, применение и способы защиты

ГАММА-ФУНКЦИЯ, Г-функция,- трансцендентная функция T(z), распространяющая значения факториала z! на случай любого комплексного z ≠ 0, -1, -2, .... Г.-ф. введена Л. Эйлером [(L. Euler), 1729, письмо к X. Гольдбаху (Ch. Goldbach)] при помощи бесконечного произведения

из к-рого Л. Эйлер получил интегральное представление (эйлеров интеграл второго рода)

верное для Re z > 0. Многозначность функции x z-1 устраняется формулой x z-1 = e (z-1)ln x с действительным ln х. Обозначение Г(z) и назв. Г.-ф. были предложены А. М. Лежандром (А. М. Legendre, 1814).

На всей плоскости z с выброшенными точками z = 0, -1, -2, ... для Г.-ф. справедливо интегральное представление Ганкеля:

где s z-1 = e (z-1)ln s , причем ln s есть ветвь логарифма, для к-рой 0

Основные соотношения и свойства Г.-ф.

1) Функциональное уравнение Эйлера:

zГ(z) = Г(z + 1),

Г(1) = 1, Г(n + 1) = n!, если n > 0 - целое, при этом считают 0! = Г(1) = 1.

2) Формула дополнения Эйлера:

Г(z)Г(1 - z) = π/sin πz.

В частности,

если n > 0 - целое, то

y - действительное.

3) Формула умножения Гаусса:

При m = 2 это есть формула удвоения Лежандра.

4) При Rе z ≥ δ > 0 или |Im z| ≥ δ > 0 имеет место асимптотич. разложение ln Г(z) в ряд Стирлинга:

где B 2n - Бернулли числа. Из чего следует равенство

В частности,

Более точной является формула Сонина :

5) В действительной области Г(х) > 0 для х > 0 и принимает знак (-1) k+1 на участках -k - 1

ГГ"" > Г" 2 ≥ 0,

т. е. все ветви как |Г(x)|, так и ln |Г(х)| - выпуклые функции. Свойство логарифмич. выпуклости определяет Г.-ф. среди всех решений функционального уравнения

Г(1 + х) = хГ(х)

с точностью до постоянного множителя.

Рис. 2. График функции y = Г(х).

Для положительных х Г.-ф. имеет единственный минимум при х = 1,4616321..., равный 0,885603... . Локальные минимумы функции |Г(х)| при х → -∞ образуют последовательность, стремящуюся к нулю.

Рис. 3. График функции 1/Г(x).

6) В комплексной области, при Re z > 0, Г.-ф. быстро убывает при |Im z| → -∞

7) Функция 1/Г(z) (см. рис. 3) является целой функцией 1-го порядка максимального типа, причем асимптотически при Г → ∞

ln М(r) ~ r ln r,

Она представима бесконечным произведением Вейерштрасса:

абсолютно и равномерно сходящимся на любом компактном множестве комплексной плоскости (здесь С -Эйлера постоянная). Справедливо интегральное представление Ганкеля:

где контур С * изображен на рис. 4.

Интегральные представления для степеней Г.-ф. были получены Г. Ф. Вороным .

В приложениях большую роль играют так наз. полигамма-функции, являющиеся к-ми производными от ln Г(z). Функция (ψ-функция Гаусса)

мероморфна, имеет простые полюсы в точках z = 0,- 1,_-2, ... и удовлетворяет функциональному уравнению

ψ(z + 1) - ψ(z) = 1/z.

Из представления ψ(z) при |z|

эта формула полезна для вычисления Г(z) в окрестности точки z = 1.

О других полигамма-функциях см. . Неполная гамма-функция определяется равенством

Функции Г(z), ψ(z) суть трансцендентные функции, не удовлетворяющие никакому линейному дифференциальному уравнению с рациональными коэффициентами (теорема Гёльдера).

Исключительная роль Г.-ф. в математич. анализе определяется тем, что при помощи Г.-ф. выражается большое количество определенных интегралов, бесконечных произведений и сумм рядов (см., напр., Бета-функция). Кроме того, Г.-ф. находит широкие применения в теории специальных функций (гипергеометрической функции, для которой Г.-ф. является предельным случаем, цилиндрических функций и др.), в аналитич. теории чисел и т. д.

Лит.: Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., т. 2, 2 изд., М., 1963; Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра, пер. с англ., М., 1965; Бурбаки Н., Функции действительного переменного. Элементарная теория, пер. с франц., М., 1965; Математический анализ. Функции, пределы, ряды, цепные дроби, (Справочная математическая библиотека), М., 1961; Nielsen N.. Handbuch der Theorie der Gamma-funktion, Lpz., 1906; Сонин Н. Я., Исследования о цилиндрических функциях и специальных полиномах, М., 1954; Вороной Г. Ф., Собр. соч., т. 2, К., 1952, с. 53-62; Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, пер. с нем., 2 изд., М., 1968; Анго А., Математика для электро- и радиоинженеров, пер. с франц., 2 изд., М., 1967.

Л. П. Купцов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.

Экспериментально установлено, что g-излучение (см. § 255) не является самостоятельным видом радиоактивности, а только сопровождает a- и b-распады и также возникает при ядерных реакциях, при торможении заряженных частиц, их распаде и т. д. g-Спектр является линейчатым. g-Спектр - это распределение числа g-квантов по энергиям (такое же толкование b-спектра дано в §258). Дискретность g-спектра имеет принципиальное значение, так как является доказательством дискретности энергетических состояний атомных ядер.

В настоящее время твердо установлено, что g-излучение испускается дочерним (а не материнским) ядром. Дочернее ядро в момент своего образования, оказываясь возбуж денным, за время примерно 10 -13 - 10 -14 с, значительно меньшее времени жизни возбужденного атома (примерно 10 -8 с), переходит в основное состояние с испусканием g-излучения. Возвращаясь в основное состояние, возбужденное ядро может пройти через ряд промежуточных состояний, поэтому g-излучение одного и того же радиоактивного изотопа может содержать несколько групп g-квантов, отличающихся одна от другой своей энергией.

При g-излучении А и Z ядра не изменяются, поэтому оно не описывается никакими правилами смещения. g-Излучение большинства ядер является столь коротковолно вым, что его волновые свойства проявляются весьма слабо. Здесь на первый план выступают корпускулярные свойства, поэтому g-излучение рассматривают как поток частиц - g-квантов. При радиоактивных распадах различных ядер g-кванты имеют энергии от 10 кэВ до 5МэВ.

Ядро, находящееся в возбужденном состоянии, может перейти в основное состояние не только при испускании g-кванта, но и при непосредственной передаче энергии возбуждения (без предварительного испускания g-кванта) одному из электронов того же атома. При этом испускается так называемый электрон конверсии. Само явление называется внутренней конверсией. Внутренняя конверсия - процесс, конкурирующий с g-излучением.

Электронам конверсии соответствуют дискретные значения энергии, зависящей от работы выхода электрона из оболочки, из которой электрон вырывается, и от энергии Е, отдаваемой ядром при переходе из возбужденного состояния в основное. Если вся энергия Евыделяется в виде у-кванта, то частота излучения v определяется из извест ного соотношения E=hv. Бели же испускаютЛ электроны внутренней конверсии, то их энергии равны Е-А К, E-A L , ..., где А к, A L , ...- работа выхода электрона из К- и L-оболочек. Моноэнергетичность электронов конверсии позволяет отличить их от b-электронов, спектр которых непрерывен (см. § 258). Возникшее в результате вылета электрона вакантное место на внутренней оболочке атома будет заполняться электро нами с вышележащих оболочек. Поэтому внутренняя конверсия всегда сопровождается характеристическим рентгеновским излучением.

g-Кванты, обладая нулевой массой покоя, не могут замедляться в среде, поэтому при прохождении g-излучения сквозь вещество они либо поглощаются, либо рассеива ются им. g-Кванты не несут электрического заряда и тем самым не испытывают влияния кулоновских сил. При прохождении пучка у-квантов сквозь вещество их энергия не меняется, но в результате столкновений ослабляется интенсивность, изменение которой описывается экспоненциальным законом I = I 0 е - m x (I 0 и I - интенсивности g-излучения на входе и выходе слоя поглощающего вещества толщиной х, m- коэффициент поглощения). Так как g-излучение - самое проникающее излучение, то mдля многих веществ - очень малая величина; mзависит от свойств вещества и от энергии g-квантов.

g-Кванты, проходя сквозь вещество, могут взаимодействовать как с электронной оболочкой атомов вещества, так и с их ядрами. В квантовой электродинамике доказывается, что основными процессами, сопровождающими прохождение g-излучения через вещество, являются фотоэффект, комптон-эффект (комптоновское рассеяние) и образование электронно-позитронных пар.

Фотоэффект, или фотоэлектрическое поглощение g-нзлучення, - это процесс, при котором атом поглощает g-квант и испускает электрон. Так как электрон выбивается из одной из внутренних оболочек атома, то освободившееся место заполняется электронами из вышележащих оболочек, и фотоэффект сопровождается характеристическим рентгеновским излучением. Фотоэффект является преобладающим механизмом поглощения в области малых энергий g-квантов (E g < 100 кэВ). Фотоэффект может идти только на связанных электронах, так как свободный электрон не может поглотить g-квант, при этом одновременно не удовлетворяются законы сохранения энергии и импульса.

По мере увеличения энергии g-квантов (Е g » 0,5 МэВ) вероятность фотоэффекта очень мала и основным механизмом взаимодействия g-квантов с веществом является комптоновское рассеяние (см. § 206).

При Е g >1,02 МэВ = 2m е с 2 (m е - масса покоя электрона) становится возможным процесс образования электронно-позитронных пар в электрических полях ядер. Вероятность этого процесса пропорциональна Z 2 и увеличивается с ростом Е g .Поэтому при Е g » 10 МэВ основным процессом взаимодействия g-излучения в любом веществе является образование электроиво-позитронных пар.

Если энергия g-кванта превышает энергию связи нуклонов в ядре (7-8 МэВ), то в результате поглощения g-кванта может наблюдаться ядерный фотоэффект - выброс из ядра одного из нуклонов, чаще всего нейтрона.

Большая проникающая способность g-излучения используется в гамма-дефектоскопии - методе дефектоскопии, основанном на различном поглощении g-излучения при распространении его на одинаковое расстояние в разных средах. Местоположение и размеры дефектов (раковины, трещины и т. д.) определяются по различию в интенсивностях излучения, прошедшего через разные участки просвечиваемого изделия.

Воздействие g-излучения (а также других видов ионизирующего излучения) на вещество характеризуют дозой ионизирующего излучения. Различаются:

Поглощенная доза излучения - физическая величина, равная отношению энергии излучения к массе облучаемого вещества.

Единица, поглощенной дозы излучения - грей (Гр)*: 1 Гр= 1 Дж/кг - доза из лучения, при которой облученному веществу массой 1 кг передается энергия любого ионизирующего излучения 1 Дж.

Экспозиционная доза излучения - физическая величина, равная отношению суммы электрических зарядов всех ионов одного знака, созданных электронами, освобожденными в облученном воздухе (при условии полного использования ионизирующей способности электронов), к массе этого воздуха.

Единила экспозиционной дозы излучения - кулон на килограмм (Кл/кг); внеси стемной единицей является рентген (Р): 1 Р=2,58× 10 -4 Кл/кг.

Биологическая доза - величина, определяющая воздействие излучения на организм.

Единица биологической дозы - биологический эквивалент рентгена (бэр): 1 бэр - доза любого вида ионизирующего излучения, производящая такое же биоло гическое действие, как и доза рентгеновского или g-излучения в 1 Р (1 бэр= 10 -2 Дж/кг).

Пояснительная записка к курсовой работе выполнена в объёме 36 листов. Она содержит таблицу значений гамма-функции при некоторых значениях переменных и тексты программ для вычисления значений Гамма-функции и для построения графика, а также 2 рисунка.

Для написания курсовой работы было использовано 7 источников.

Введение

Выделяют особый класс функций, представимых в виде собственого либо несобственого интеграла, который зависит не только от формальной переменной, а и от параметра.

Такие функции называются интегралами зависящими от параметра. К их числу относятся гамма и бета функции Эйлера.

Бета функции представимы интегралом Эйлера первого рода:

Гамма функция представляется интегралом Эйлера второго рода:

Гамма-функция относится к числу самых простых и значимых специальных функций, знание свойств которой необходимо для изучения многих других специальных функций, например, цилиндрических, гипергеометрических и других.

Благодаря её введению значительно расширяются наши возможности при вычислении интегралов. Даже в случаях, когда конечная формула не содержит иных функций, кроме элементарных, получение её всё же часто облегчает использование функции Г, хотя бы в промежуточных выкладках.

Эйлеровы интегралы представляют собой хорошо изученные неэлементарные функции. Задача считается решённой, если она приводится к вычислению эйлеровых интегралов.

1. Бэта-функци я Эйлера

Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода:

=(1.1)

Он представляет функцию от двух переменных параметров

и : функцию B . Если эти параметры удовлетворяют условиям и ,то интеграл (1.1) будет несобственным интегралом, зависящим от параметров и ,причём особыми точками этого интеграла будут точки и

Интеграл (1.1) сходятся при

.Полагая получим: = - =

т.e. аргумент

и входят в симметрично. Принимая во внимание тождество

по формуле интегрирования почестям имеем

Откуда получаем

=

При целом b = n последовательно применяя (1.2)

при целых

= m,= n, имеем

но B(1,1) = 1,следовательно:

Положим в (1.1)

.Так как график функции симметрична относительно прямой ,то

и в результате подстановки

, получаем

полагая в(1.1)

,откуда , получим

разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до

и применение ко второму интегралу подстановки ,получим

2. Гамма-функция

2.1 Определение

Восклицательный знак в математических трудах обычно означает взятие факториала какого-либо целого неотрицательного числа:

n! = 1·2·3·...·n.

Функцию факториал можно еще записать в виде рекурсионного соотношения:

(n+1)! = (n+1)·n!.

Это соотношение можно рассматривать не только при целых значениях n.

Рассмотрим разностное уравнение

Несмотря на простую форму записи, в элементарных функциях это уравнение не решается. Его решение называется гамма-функцией. Гамма-функцию можно записать в виде ряда или в виде интеграла. Для изучения глобальных свойств гамма-функции обычно пользуются интегральным представлением.

2.2 Интегральное представление

Перейдем к решению этого уравнения. Будем искать решение в виде интеграла Лапласа:

В этом случае правая часть уравнения (2.1) может быть записана в виде:

Эта формула справедлива, если существуют пределы для внеинтегрального члена. Заранее нам не известно поведение образа [(G)\tilde](p) при p®±¥. Предположим, что образ гамма-функции таков, что внеинтегральное слагаемое равно нулю. После того, как будет найдено решение, надо будет проверить, верно ли предположение о внеинтегральном слагаемом, иначе придется искать G(z) как-нибудь по-другому.

Экспериментально установлено, что -излучение (см. § 255) не является самостоятельным видом радиоактивности, а только сопровождает - и -распады и также возникает при ядерных реакциях, при торможении заряженных частиц, их распаде и т.д. -Спектр является линейчатым. -Спектр - это распределение числа -квантов по энергиям (такое же толкование -спектра дано в § 258). Дискретность -спектра имеет принципиальное значение, так как является доказательством дискретности энергетических состояний атомных ядер.

В настоящее время твердо установлено, что -излучение испускается дочерним (а не материнским) ядром. Дочернее ядро в момент своего образования, оказываясь возбужденным, за время примерно 10 -13 -10 -14 с, значительно меньшее времени жизни возбужденного атома (примерно 10 -8 с), переходит в основное состояние с испусканием -излучения. Возвращаясь в основное состояние, возбужденное ядро может пройти через ряд промежуточных состояний, поэтому -излучение одного и того же радиоактивного изотопа может содержать несколько групп -квантов, отличающихся одна от другой своей энергией.

При -излучении А и Z ядра не изменяются, поэтому оно не описывается никакими правилами смещения. -Излучение большинства ядер является столь коротковолновым, что его волновые свойства проявляются весьма слабо. Здесь на первый план выступают корпускулярные свойства, поэтому -излучение рассматривают как поток частиц - -квантов. При радиоактивных распадах различных ядер -кванты имеют энергии от 10 кэВ до 5 МэВ.

Ядро, находящееся в возбужденном состоянии, может перейти в основное состояние не только при испускании -кванта, но и при непосредственной передаче энергии возбуждения (без предварительного испускания -кванта) одному из электронов того же атома. При этом испускается так называемый электрон конверсии . Само явление называется внутренней конверсией . Внутренняя конверсия - процесс, конкурирующий с -излучением.

Электронам конверсии соответствуют дискретные значения энергии, зависящей от работы выхода электрона из оболочки, из которой электрон вырывается, и от энергии Е , отдаваемой ядром при переходе из возбужденного состояния в основное. Если вся энергия Е выделяется в виде -кванта, то частота излучения определяется из известного соотношения . Если же испускаются электроны внутренней конверсии, то их энергии равны Е – А К , Е – A L , ... , где А К , A L , ... - работа выхода электрона из К - и L -оболочек. Моноэнергетичность электронов конверсии позволяет отличить их от { -электронов, спектр которых непрерывен (см. § 258). Возникшее в результате вылета электрона вакантное место на внутренней оболочке атома будет заполняться электронами с вышележащих оболочек. Поэтому внутренняя конверсия всегда сопровождается характеристическим рентгеновским излучением.

Кванты, обладая нулевой массой покоя, не могут замедляться в среде, поэтому при прохождении -излучения сквозь вещество они либо поглощаются, либо рассеиваются им. -Кванты не несут электрического заряда и тем самым не испытывают влияния кулоновских сил. При прохождении пучка -квантов сквозь вещество их энергия не меняется, но в результате столкновений ослабляется интенсивность, изменение которой описывается экспоненциальным законом ( и - интенсивности -излучения на входе и выходе слоя поглощающего вещества толщиной х, - коэффициент поглощения). Так как -излучение - самое проникающее излучение, то для многих веществ - очень малая величина; зависит от свойств вещества и от энергии -квантов.

Кванты, проходя сквозь вещество, могут взаимодействовать как с электронной оболочкой атомов вещества, так и с их ядрами. В квантовой электродинамике доказывается, что основными процессами, сопровождающими прохождение -излучения через вещество, являются фотоэффект, комптон-эффект (комптоновское рассеяние) и образование электронно-позитронных пар.

Фотоэффект, или фотоэлектрическое поглощение -излучения ,- это процесс, при котором атом поглощает -квант и испускает электрон. Так как электрон выбивается из одной из внутренних оболочек атома, то освободившееся место заполняется электронами из вышележащих оболочек, и фотоэффект сопровождается характеристическим рентгеновским излучением. Фотоэффект является преобладающим механизмом поглощения в области малых энергий -квантов ( £ 100 кэВ). Фотоэффект может идти только на связанных электронах, так как свободный электрон не может поглотить -квант, при этом одновременно не удовлетворяются законы сохранения энергии и импульса.

По мере увеличения энергии -квантов ( » 0,5 МэВ) вероятность фотоэффекта очень мала и основным механизмом взаимодействия -квантов с веществом является комптоновское рассеяние (см. § 206).

При > 1,02 МэВ = 2 2 ( - масса покоя электрона) становится возможным процесс образования электронно-позитронных пар в электрических полях ядер. Вероятность этого процесса пропорциональна Z 2 и увеличивается с ростом . Поэтому при » 10 МэВ основным процессом взаимодействия -излучения в любом веществе является образование электронно-позитронных пар .

Если энергия -кванта превышает энергию связи нуклонов в ядре (7 – 8 МэВ), то в результате поглощения -кванта может наблюдаться ядерный фотоэффект - выброс из ядра одного из нуклонов, чаще всего нейтрона.

Большая проникающая способность -излучения используется в гамма-дефектоскопии - методе дефектоскопии, основанном на различном поглощении -излу-чения при распространении его на одинаковое расстояние в разных средах. Местоположение и размеры дефектов (раковины, трещины и т. д.) определяются по различию в интенсивностях излучения, прошедшего через разные участки просвечиваемого изделия.

Воздействие -излучения (а также других видов ионизирующего излучения) на вещество характеризуют дозой ионизирующего излучения . Различаются:

Поглощенная доза излучения - физическая величина, равная отношению энергии излучения к массе облучаемого вещества. Единица поглощенной дозы излучения - грей (Гр) (С. Грей (1666-1736) - английский физик): 1 Гр = 1 Дж/кг - доза излучения, при которой облученному веществу массой 1 кг передается энергия любого ионизирующего излучения 1 Дж.

Экспозиционная доза излучения - физическая величина, равная отношению суммы электрических зарядов всех ионов одного знака, созданных электронами, освобожденными в облученном воздухе (при условии полного использования ионизирующей способности электронов), к массе этого воздуха. Единица экспозиционной дозы излучения - кулон на килограмм (Кл/кг); внесистемной единицей является рентген (Р): 1 Р = 2,58×10 -4 Кл/кг.

Биологическая доза - величина, определяющая воздействие излучения на организм. Единица биологической дозы - биологический эквивалент рентгена (бэр): 1 бэр - доза любого вида ионизирующего излучения, производящая такое же биологическое действие, как и доза рентгеновского или -излучения в 1 P (1 бэр = 10 -2 Дж/кг).

Мощность дозы излучения - величина, равная отношению дозы излучения к времени облучения. Различают: 1) мощность поглощенной дозы (единица - грей на секунду (Гр/с)); 2) мощность экспозиционной дозы (единица - ампер на килограмм (А/кг)).

§ 260. Резонансное поглощение -излучения (эффект Мёссбауэра)

Как уже указывалось, дискретный спектр -излучения обусловлен дискретностью энергетических уровней ядер атомов. Однако, как следует из соотношения неопределенностей (215.5), энергия возбужденных состояний ядра принимает значения в пределах , где - время жизни ядра в возбужденном состоянии. Следовательно, чем меньше , тем больше неопределенность энергии возбужденного состояния. = 0 только для основного состояния стабильного ядра (для него ). Неопределенность энергии квантово-механической системы (например, атома), обладающей дискретными уровнями энергии, определяет естественную ширину энергетического уровня (Г ). Например, при времени жизни возбужденного состояния, равного 10 -13 с, естественная ширина энергетического уровня примерно 10 -2 эВ.

Неопределенность энергии возбужденного состояния, обусловливаемая конечным временем жизни возбужденных состояний ядра, приводит к немонохроматичности -излучения, испускаемого при переходе ядра из возбужденного состояния в основное. Эта немонохроматичность называется естественной шириной линии -излучения.

При прохождении -излучения в веществе помимо описанных выше (см. § 259) процессов (фотоэффект, комптоновское рассеяние, образование электронно-позитронных пар) должны в принципе наблюдаться также резонансные эффекты. Если ядро облучить -квантами с энергией, равной разности одного из возбужденных и основного энергетических состояний ядра, то может иметь место резонансное поглощение -излучения ядрами : ядро поглощает -квант той же частоты, что и частота излучаемого ядром -кванта при переходе ядра из данного возбужденного состояния в основное.

Наблюдение резонансного поглощения -квантов ядрами считалось долгое время невозможным, так как при переходе ядра из возбужденного состояния с энергией Е в основное (его энергия принята равной нулю) излучаемый -квант имеет энергию несколько меньшую, чем Е , из-за отдачи ядра в процессе излучения:

где - кинетическая энергия отдачи ядра. При возбуждении же ядра и переходе его из основного состояния в возбужденное с энергией Е -квант должен иметь энергию несколько большую, чем Е , т. е.

где - энергия отдачи, которую -квант должен передать поглощающему ядру.

Таким образом, максимумы линий излучения и поглощения сдвинуты друг относительно друга на величину 2 (рис.344). Используя закон сохранения импульса, согласно которому в рассмотренных процессах излучения и поглощения импульсы -кванта и ядра должны быть равны, получим

(260.1)

Например, возбужденное состояние изотопа иридия имеет энергию 129 кэВ, а время его жизни порядка 10 -10 с, так что ширина уровня Г » 4×10 -5 эВ. Энергия же отдачи при излучении с этого уровня, согласно (260.1), приблизительно равна 5×10 -2 эВ, т.е. на три порядка больше ширины уровня. Естественно, что никакое резонансное поглощение в таких условиях невозможно (для наблюдения резонансного поглощения линия поглощения должна совпадать с линией излучения). Из опытов также следовало, что на свободных ядрах резонансное поглощение не наблюдается.

Резонансное поглощение -излучения в принципе может быть получено только при компенсации потери энергии на отдачу ядра. Эту задачу решил в 1958 г. Р. Мёссбауэр (Р. Мёссбауэр (р. 1929) - немецкий физик, Нобелевская премия 1961 г.). Он исследовал излучение и поглощение -излучения в ядрах, находящихся в кристаллической решетке, т. е. в связанном состоянии (опыты проводились при низкой температуре). В данном случае импульс и энергия отдачи передаются не одному ядру, излучающему (поглощающему) -квант, a всей кристаллической решетке в целом. Так как кристалл обладает гораздо большей массой по сравнению с массой отдельного ядра, то в соответствии с формулой (260.1) потери энергии на отдачу становятся исчезающе малыми. Поэтому процессы излучения и поглощения -излучения происходят практически без потерь энергии (идеально упруго).

Явление упругого испускания (поглощения) -квантов атомными ядрами, связанными в твердом теле, не сопровождающееся изменением внутренней энергии тела, называется эффектом Мёссбауэра . При рассмотренных условиях линии излучения и поглощения -излучения практически совпадают и имеют весьма малую ширину, равную естественной ширине Г . Эффект Мёссбауэра был открыт на глубоко охлажденном (с понижением температуры колебания решетки «замораживаются»), а впоследствии обнаружен более чем на 20 стабильных изотопах (например, 57 Fe , 67 Zn и т. д.).

Мёссбауэр вооружил экспериментальную физику новым методом измерений невиданной прежде точности. Эффект Мёссбауэра позволяет измерять энергии (частоты) излучения с относительной точностью Г/Е = 10 -15 ¸ 10 -17 , поэтому во многих областях науки и техники может служить тончайшим «инструментом» различного рода измерений. Появилась возможность измерять тончайшие детали -линий, внутренние магнитные и электрические поля в твердых телах и т. д.

Внешнее воздействие (например, зеемановское расщепление ядерных уровней или смещение энергии фотонов при движении в поле тяжести) может привести к очень малому смещению либо линии поглощения, либо линии излучения, иными словами, привести к ослаблению или исчезновению эффекта Мёссбауэра. Это смещение, следовательно, может быть зафиксировано. Подобным образом в лабораторных условиях был обнаружен (1960) такой тончайший эффект, как «гравитационное красное смещение», предсказанный общей теорией относительности Эйнштейна.

Гамма-излучение и его свойства

Гамма-излучение представляет собой коротковолновое электромагнитное излучение с чрезвычайно малой длиной волны l < 10 -10 м и вследствие этого – ярко выраженными корпускулярными свойствами, т.е. является потоком частиц – g-квантов, или фотонов, с энергией hn (n – частота излучения, h – постоянная Планка). На шкале электромагнитных волн гамма-излучение граничит с жестким рентгеновским излучением, занимая область более высоких частот.

Экспериментально установлено, что g-излучение не является самостоятельным видом радиоактивности. Оно сопровождает a- и b-распады и также возникает при ядерных реакциях, при торможении заряженных частиц, их распаде и т.п.

Сопровождающее распад радиоактивных ядер, гамма-излучение, испускается при переходах ядра из более возбужденного энергетического состояния в менее возбужденное или в основное. Энергия g-кванта равна разности энергий De состояний, между которыми происходит переход.

Возбужденное состояние

Основное состояние ядра Е1

Испускание ядром g-кванта не ведет к изменению атомного номера или массового числа. Ширина линий гамма-излучения очень мала (~10 -2 эВ). Поскольку расстояние между уровнями во много раз больше ширины линий, спектр гамма-излучения является линейчатым, т.е. состоит из ряда дискретных линий. При помощи исследования спектров гамма-излучения можно установить энергии возбужденных состояний ядер. Гамма-кванты больших энергий испускаются при распадах некоторых элементарных частиц. Так, при распаде покоящегося p 0 - мезона возникает гамма-излучение с энергией ~70 МэВ. Гамма-излучение при распаде элементарных частиц также обладает линейчатым спектром. Однако распадающиеся элементарные частицы очень часто движутся со скоростями, равными, примерно, скорости света, вследствие чего возникает доплеровское уширение спектральных линий и спектр гамма-излучения оказывается размытым в широком интервале энергий. Возникающее при прохождении быстрых заряженных частиц через вещество, гамма-излучение вызывается их торможением в кулоновском поле атомных ядер вещества. Тормозное гамма-излучение, также как и тормозное рентгеновское излучение, характеризуется сплошным спектром, верхняя граница которого совпадает с энергией заряженной частицы, например электрона. В ускорителях заряженных частиц получают тормозное гамма-излучение с максимальной энергией, достигающей несколько десятков ГэВ.

В межзвёздном пространстве гамма-излучение возникает в результате соударений квантов более мягкого длинноволнового электромагнитного излучения, например света, с электронами, ускоренными магнитными полями космических объектов. При этом быстрый электрон передает свою энергию электромагнитному излучению и видимый свет превращается в более жесткое гамма-излучение.

Подобное явление встречается и на Земле при столкновении электронов большой энергии, получаемых на ускорителях, с фотонами видимого света в интенсивных пучках света, создаваемых лазерами. Электрон передает энергию световому фотону, который превращается в g-квант. Можно на практике превращать отдельные фотоны света в кванты гамма-излучения высокой энергии.

Гамма-излучение не отклоняется электрическим и магнитным полями, обладает относительно слабой ионизирующей способностью и очень большой проникающей способностью (например, проходит через слой свинца толщиной 5 см). Основные процессы, происходящие при взаимодействии гамма-излучения с веществом, – фотоэлектрическое поглощение (фотоэффект), комптоновское рассеяние (комптон-эффект) и образование пар электрон-позитрон. Фотоэффект – это процесс, при котором атом поглощает гамма-квант и испускает электрон. Так как электрон выбивается из одной из внутренних оболочек атома. То освобождающееся место заполняется электронами из вышележащих оболочек. И фотоэффект сопровождается характеристическим рентгеновским излучением. Вероятность фотоэффекта прямо пропорциональна пятой степени атомного номера элемента и обратно пропорциональна 3-й степени энергии гамма-излучения. Таким образом, фотоэффект преобладает в области малых энергии g-квантов (~ 100 кэВ) на тяжелых элементах (Pb, U).

При комптон-эффект происходит рассеяние g-кванта на одном из электронов, слабо связанных в атоме. В отличие от фотоэффекта, при комптон-эффекте g-квант не исчезает, а лишь изменяет энергию (длину волны) и направление распространения. Узкий пучок гамма-лучей в результате комптон-эффекта становится более широким, а само излучение – более мягким (длинноволновым). Интенсивность комптоновского рассеяния пропорциональна числу электронов в 1 см 3 вещества, и поэтому вероятность этого процесса пропорциональна атомному номеру вещества. Комптон-эффект становится заметным в веществах с малым атомным номером и при энергиях гамма-излучения, превышающих энергию связи электронов в атомах. Так, в случае Pb вероятность комптоновского рассеяния сравнима с вероятностью фотоэлектрического поглощения при энергии ~ 0,5 МэВ. В случае Al комптон-эффект преобладает при гораздо меньших энергиях.

При энергии гамма-кванта > 10 МэВ основным процессом взаимодействия гамма-излучения в любом веществе является образование электронно-позитронных пар в электрическом поле ядер. Вероятность образования пар пропорциональна квадрату атомного номера и увеличивается с ростом hn . Поэтому при hn ~10 МэВ основным процессом в любом веществе оказывается образование пар.

0,1 0,5 1 2 5 10 50

Энергия γ-лучей (МэВ)

Обратный процесс аннигиляции электрон-позитронной пары является источником гамма-излучения.

Для характеристики ослабления гамма-излучения в веществе обычно пользуются коэффициентом поглощения, показывающим, на какой толщине Х поглотителя интенсивность I 0 падающего пучка гамма-излучение ослабляется в е раз:

Здесь μ 0 – линейный коэффициент поглощения гамма-излучения. Иногда вводят массовый коэффициент поглощения, равный отношению μ 0 к плотности поглотителя.

Этот закон ослабления гамма-излучения справедлив только для узко направленного пучка гамма-лучей, при котором любой процесс, как поглощения, так и рассеяния, выводит гамма-излучение из состава первичного пучка. Пир высоких же энергиях процесс прохождения гамма-излучения через вещество несколько усложняется. Вторичные электроны и позитроны обладают большой энергией и, значит, могут, в свою очередь, создавать гамма-излучение благодаря процессам торможения и аннигиляции. Таким образом, в веществе возникает ряд чередующихся поколений вторичного гамма-излучения, электронов и позитронов, то есть происходит развитие каскадного ливня. Число вторичных частиц в таком ливне вначале возрастает с ростом толщины вещества, достигая максимума. Однако затем процессы поглощения начинают преобладать над процессами размножения частиц и ливень затухает. Способность гамма-излучения развивать ливни зависит от соотношения между его энергией и так называемой критической энергией, после которой каскадный ливень в данном веществе практически теряет способность развиваться.

В экспериментальной физике для изменения энергии гамма-излучения применяются гамма-спектрометры различных типов, которые основаны, в основном, на измерении энергии вторичных электронов. Типы спектрометров гамма-излучения: магнитные, сцинтиляционные, полупроводниковые и кристалл-дифракционные.

Изучение спектров ядерных гамма-излучений дает важную информацию о структуре ядер. Наблюдение эффектов, связанных с влиянием внешней среды на свойства ядерного гамма-излучения используется для изучения свойств твёрдых тел.

Гамма-излучение широко применяется в технике, например, для обнаружения дефектов в металлах используется гамма-дефектоскопия. Этот метод основан на различном поглощении гамма-излучения при распространении его на одинаковые расстояния в разных средах. Местоположение и размеры дефектов определяются по различию в интенсивностях излучения. Прошедшего через разные участки просвечиваемого изделия.

В радиационной химии гамма-излучение применяется для инициирования химических превращений, например процессов полимеризации. В пищевой промышленности гамма-излучение используется для стерилизации продуктов питания. Основными источниками гамма-излучения служат естественные и искусственные радиоактивные изотопы, а также электронные ускорители.

Воздействие на организм гамма-излучения подобно действию других видов ионизирующих излучений. Гамма-излучение может вызывать лучевое поражение организма, вплоть до его гибели. Характер влияния гамма-излучения зависит от энергии g-квантов и пространственных особенностей облучения, например, он различен для случая внешнего и внутреннего облучения. Относительная биологическая эффективность гамма-излучения составляет 0,7–0,9. В производственных условиях (хроническое воздействие в малых дозах) относительная биологическая эффективность гамма-излучения принята равной 1.

Гамма-излучение используется в медицине для лечения опухолей, для стерилизации помещений, аппаратуры и лекарственных препаратов. Гамма-излучение применяют также для получения мутаций с последующим отбором хозяйственно-полезных форм. Так выводят высокопродуктивные сорта микроорганизмов (например, для получения антибиотиков) и растений.

Возможности лучевой терапии значительно расширились за счёт средств и методов дистанционной гамма-теропии. Успехи дистанционной гамма-терапии достигнуты в результате большой работы в области использования мощных искусственных радиоактивных источников гамма-излучения (кобальт-60, цезий-137), а также новых гамма-препаратов.

Большое значение дистанционной гамма-терапии объясняется также сравнительной доступностью и удобствами использования гамма-аппаратов. Гамма-аппараты, так же как и рентгеновские аппараты, конструируют для статического и подвижного облучения. С помощью подвижного облучения стремятся создать большую дозу в опухоли при рассредоточенном облучении здоровых тканей. Разработаны конструктивные усовершенствования гамма-аппаратов, направленные на уменьшение полутени, улучшение гомогенности полей, использование фильтров типа жалюзи и поиски дополнительных возможностей защиты.

В растениеводстве использование ядерных излучений дает обширные возможности для изменения обмена веществ у сельскохозяйственных растений, повышение их урожайности, ускорения развития и улучшения качества.

Уже в первых исследованиях радиобиологов было установлено, что ионизирующая радиация – мощный фактор воздействия на рост, развитие и обмен веществ в живых организмах. Под влиянием гамма-облучения у растений, животных или микроорганизмов меняется слаженный обмен веществ, ускоряется или замедляется (в зависимости от дозы) течение физиологических процессов, наблюдаются сдвиги в росте, развитии, формировании урожая.

Нужно подчеркнуть, что при гамма-облучении в семена не поступают радиоактивные вещества. Облученные семена, как и выращенный из них урожай, нерадиоактивны. Оптимальные дозы облучения только ускоряют нормальные процессы, происходящие в растении, и поэтому совершенно необоснованны какие-либо опасения и предостережения против использования в пищу урожая, полученного из семян, подвергавшихся предпосевному облучению.

Ионизирующие излучения применяются для повышения сроков хранения сельскохозяйственных продуктов и уничтожения различных насекомых-вредителей. Например, если зерно перед загрузкой в элеватор пропустить через бункер, где установлен мощный источник радиации, то возможность размножения насекомых-вредителей будет исключена и зерно сможет храниться длительное время без каких-либо потерь. Употребление его в качестве корма не вызвало никаких отклонений в росте, способности к размножению и других патологических отклонений от нормы у четырех поколений экспериментальных животных.