Поведение волн на больших водоемах. Волны на поверхности воды и им подобные. Исторические свидетельства "волн-убийц"

Формулы, выведенные выше, пригодны только для волн на глубокой воде. Они ещё достаточно точны, если глубина воды равна половине длины волны. При меньшей глубине частицы воды на поверхности волны описывают не круговые траектории, а эллиптические, и выведенные соотношения неверны и принимают на самом деле более сложный вид. Однако для волн на очень мелкой воде, а также для очень длинных волн на средней воде зависимость между длиной и скоростью распространения волн принимает опять более простой вид. В обоих этих случаях вертикальные перемещения частиц воды на свободной поверхности весьма незначительны по сравнению с горизонтальными перемещениями. Поэтому опять можно считать, что волны имеют приблизительно синусоидальную форму. Так как траектории частиц представляют собой очень сплющенные эллипсы, то влиянием вертикального ускорения на распределение давления можно пренебречь. Тогда на каждой вертикали давление будет изменяться по статическому закону.

Пусть на поверхности воды над плоским дном распространяется со скоростью с справа налево «вал» воды шириной b, повышающий уровень воды от h 1 до h 2 (рисунок 4.4). До прихода вала вода находилась в покое. Скорость её движения после повышения уровня щ. Эта скорость не совпадает со скоростью вала, она необходима для того, чтобы вызвать боковое перемещение объёма воды в переходной зоне шириной b вправо и тем самым поднять уровень воды.

рис 4.4 п

Наклон вала по всей его ширине принимается постоянным и равным. При условии, что скорость щ достаточно мала, чтобы ей можно было пренебречь по сравнению со скоростью с распространения вала, вертикальная скорость воды в области вала будет равна (рисунок 4.5)

Условие неразрывности 3.4, применённое к единичному слою воды (в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка 4.4), имеет вид

щ 1 l 1 = щ 2 l 2 , (интеграл исчез из-за линейности рассматриваемых площадок),

здесь щ 1 и щ 2 - средние скорости в поперечных сечениях l 1 и l 2 потока соответственно. l 1 и l 2 - линейные величины (длины).

Это уравнение, применённое к данному случаю, приводит к соотношению

h 2 щ = bV , или h 2 щ = c (h 2 -h 1). (4.9)

Из 4.9 видно, что связь между скоростями щ и c не зависит от ширины вала.

Уравнение 4.9 остаётся верным и для вала непрямолинейного профиля (при условии малости угла б). Это легко показать, разбивая такой вал на ряд узких валов с прямолинейными профилями и складывая уравнения неразрывности, составленные для каждого отдельного вала:

Откуда при условии, что разностью h 2 - h 1 можно пренебречь и вместо h 2i в каждом случае подставить h 2 , получается. Это условие справедливо при уже принятом допущении о малости скорости щ (смотри 4.9).

К кинематическому соотношению 4.9 следует присоединить динамическое соотношение, выведенное из следующих соображений:

Объём воды шириной b в области вала находится в ускоренном движении, так как частицы, составляющие этот объём, начинают своё движение на правом краю с нулевой скоростью, а на левом краю имеют скорости щ (рисунок 4.4). Из области внутри вала берётся произвольная частица воды. Время, за которое над этой частицей проходит вал, равно

поэтому ускорение частицы

Далее ширина вала (его линейный размер в плоскости, перпендикулярной рисунку) принимается равной единице (рисунок 4.6). Это позволяет записать выражение для массы объёма воды, находящегося в области вала, следующим образом:

Где h m есть средний уровень воды в области вала. (4.11)

Разность давлений по обе стороны вала на одной и той же высоте составляет (по формуле гидростатики) , где постоянная для данного вещества (воды) .

Следовательно, полная сила давления, действующая на рассматриваемый объём воды в горизонтальном направлении, равна. Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики) с учётом 4.10 и 4.11 запишется в виде:

Откуда. (4.12)

Таким образом, ширина вала выпала из уравнения. Аналогично тому, как это было сделано для уравнения 4.9, доказывается, что уравнение 4.12 применимо также для вала с другим профилем при условии, что разность h 2 - h 1 мала по сравнению с самими h 2 и h 1 .

Итак, имеется система уравнений 4.9 и 4.12. Далее в левой части уравнения 4.9 h 2 заменяется на h m (что при низком вале и как следствие малой разнице h 2 - h 1 вполне допустимо) и уравнение 4.12 делится на уравнение 4.9:

После сокращений получается

Чередование валов с симметричными углами наклонов (т. н. положительных и отрицательных валоы) приводит к образованию волн. Скорость распространения таких волн не зависит от их формы.

Длинные волны на мелкой воде распространяются со скоростью, называемой критической скоростью.

Если на воде следуют друг за другом несколько низких валов, из которых каждый несколько повышает уровень воды, то скорость каждого последующего вала несколько больше скорости предыдущего вала, так как последний уже вызвал некоторое увеличение глубины h. Кроме того, каждый последующий вал распространяется уже не в неподвижной воде, а в воде, уже движущейся в направлении движения вала со скоростью щ. Всё это приводит к тому, что последующие валы догоняют предыдущие, в результате чего возникает крутой вал конечной высоты.

Международная научно-практическая конференция

«Первые шаги в науку»

Исследовательская работа

«Волны на поверхности воды».

Дыченкова Анастасия,

Сафронова Алена,

Руководитель:

Образовательное учреждение:

МБОУ СОШ №52 г. Брянска.

https://pandia.ru/text/78/151/images/image002_111.jpg" width="336" height="240">

Любое упругое тело (например, струна) при свободных колебаниях имеет основной тон и обертоны. Чем больше обертонов имеет упругое тело, тем красивее оно звучит.

Примеры применения стоячих волн:

Духовые музыкальные инструменты (орган, труба)

Струнные музыкальные инструменты (гитара, пианино, скрипка)

Камертоны

Интерференция волн.

Интерференция волн - устойчивое распределение с течением времени амплитуды колебаний в пространстве при наложении когерентных волн.

Они имеют одинаковые частоты;

Сдвиг по фазе волн, пришедших в данную точку, величина постоянная, то есть не зависит от времени.

В данной точке при интерференции наблюдается минимум, если разность хода волн равна нечетному числу полуволн.

В данной точке при интерференции наблюдается максимум, если разность хода волн равна четному количеству полуволн или целому числу длин волн.

При интерференции происходит перераспределение энергии волн, то есть в точку минимума она почти не поступает, а в точку максимума её поступает больше.

Дифракция волн.

Волны способны огибать препятствия. Так, морские волны свободно огибают выступающий из воды камень, если его размеры меньше длины волны или сравнимы с ней. За камнем волны распространяются так, как если бы его не было совсем. Точно так же волна от брошенного в пруд камня огибает торчащий из воды прутик. Только за препятствием большого, по сравнению с длиной волны, размера образуется "тень": волны за препятствие не проникают.

Способностью огибать препятствия обладают и звуковые волны. Вы можете слышать сигнал машины за углом дома, когда самой машины не видно. В лесу деревья заслоняют ваших товарищей. Чтобы их не потерять, вы начинаете кричать. Звуковые волны, в отличие от света, свободно огибают стволы деревьев и доносят ваш голос до товарищей.

Дифракция - явление нарушения закона прямолинейного распространения волн в однородной среде или огибание препятствий волнами.

На пути волны экран с щелью:

Длина щели много больше длины волны. Дифракция не наблюдается.

Длина щели соизмерима с длиной волны. Дифракция наблюдается.

На пути волны преграда:

Размер преграды много больше длины волны. Дифракция не наблюдается.

Размер преграды соизмерим с длиной волны. Дифракция наблюдается(волна огибает препятствие).

Условие наблюдения дифракции: длина волны соизмерима с размерами препятствия, щели или преграды

Практическая часть.

Для проведения опытов мы использовали прибор «Ванна волновая»

Интерференция двух круговых волн.

Наливаем в ванну воду. Опускаем в нее насадку, для образования двух круговых волн.

https://pandia.ru/text/78/151/images/image008_25.jpg" width="295" height="223 src=">

Чередование светлых и темных полосок. В тех точках, где фазы одинаковы, происходит увеличение амплитуды колебаний;

Источники - когерентны.

Круговая волна.

Интерференция падающей и отраженной волны.

https://pandia.ru/text/78/151/images/image010_18.jpg" width="285" height="214 src=">

Вывод: для наблюдения интерференции источники волн должны быть когерентными.

Интерференция плоских волн.

https://pandia.ru/text/78/151/images/image012_16.jpg" width="302" height="226 src=">

Стоячие волны.

https://pandia.ru/text/78/151/images/image014_13.jpg" width="196" height="263 src=">

1. Закрепили в вибраторе насадку для создания плоской волны и получите устойчивую картину плоских волн на экране.

2. Установили барьер-отражатель параллельно волновому фронту.

3. Собрали из двух препятствий аналог уголкового отражателя и погрузите его в кювету. Вы увидите стоячую волну в виде двумерной (сетчатой) структуры.

4. Критерием получения стоячей волны является переход формы поверхности в точках, где находиться пучность, из выпуклой (светлые точки) в вогнутую (темные точки) без какого-либо смещения этих точек.

Дифракция волны на препятствии.

Получили устойчивую картину излучения плоской волны. На расстоянии примерно 50 мм от излучателя расположите препятствие – ластик.

Уменьшая размер ластика, получаем следующее: (а – длина ластика)

https://pandia.ru/text/78/151/images/image016_10.jpg" width="262" height="198 src=">

а = 8 см а = 7мм

https://pandia.ru/text/78/151/images/image018_8.jpg" width="274" height="206 src=">

а = 4,5 мм а=1,5 мм

Вывод: дифракция не наблюдается, если, а > λ, дифракция наблюдается,

если а < λ, следовательно, волна огибает препятствия.

Определение длины волны.

https://pandia.ru/text/78/151/images/image020_5.jpg" width="290" height="217 src=">

Длина волны λ - расстояние между соседними гребнями или впадинами. Изображение на экране увеличено в 2 раза по сравнению с реальным объектом.

λ =6 мм / 2 = 3мм.

Длина волны не зависит от конфигурации излучателя (волна плоская или круглая). λ =6 мм / 2 = 3мм.

https://pandia.ru/text/78/151/images/image022_5.jpg" width="278" height="208 src=">

Длина волны λ зависит от частоты вибратора, увеличивая частоту вибратора – уменьшатся длина волны.

λ =4 мм / 2 = 2мм.

Выводы.

1. Для наблюдения интерференции источники волн должны быть когерентными.

2. Дифракция не наблюдается, если, ширина препятствия больше длины волны, дифракция наблюдается, если ширина препятствия меньше длины волны, следовательно, волна огибает препятствия.

3. Длина волны не зависит от конфигурации излучателя (волна плоская или круглая).

4. Длина волны зависит от частоты вибратора, увеличивая частоту вибратора – уменьшатся длина волны.

5. Данную работу можно использовать при изучении волновых явлений в 9 классе и 11 классе .

Список литературы :

1. Ландсберг учебник физики. М.:Наука,1995.

2. , Кикоин 9 кл. М.:Просвещение,1997.

3. Энциклопедия для детей. Аванта +. Т.16, 2000.

4. Савельев общей физики. Книга 1.М.:Наука,2000.

5. Интернет – ресурсы:

http://en. wikipedia. org/wiki/Wave

http://www. /article/index. php? id_article=1898

http://www. /node/1785

Пока мы рассмотрели только одномерные (1-d ) волны, то есть волны, распространяющиесяв струне, в линейной среде. Не менее знакомы нам двумерные волны в форме длинных горных хребтов и впадин на двумерной поверхности воды. Следующий шаг при обсуждении волн нам предстоит сделать в пространство двух (2-d ) и трех (3-d ) измерений. Опять-таки никакие новые физические принципы не будут использоваться; задача состоит просто в описании волновых процессов.

Мы начнем обсуждение, вернувшись к той простой ситуации, с которой начиналась эта глава - одиночный волновой импульс . Однако теперь это будет не возмущение на струне, а всплеск на поверхности водоема. Всплеск оседает под своим собственным весом, а смежные с ним области, испытывая повышенное давление, подымаются , начиная распространение волны. Этот процесс “в разрезе” изображен на рис. 7-7(a) . Дальнейшая логика рассмотрения ситуации точно такая же, что уже была использована при изучении эффектов, возникающих после резкого удара по центральной части струны. Но на сей раз волна может перемещаться во всех направлениях. Не имея причин предпочесть одно какое-то направление другому, волна распространяется во всехнаправлениях. Результат - знакомый всем расширяющийся круг ряби на поверхности тихого водоема, см. рис. 7-7 (b) .

Хорошо знакомы нам и плоские волны на поверхности воды - те волны, гребни которых образуют длинные, иногда практически параллельные, линии на поверхности воды. Это те самые волны, которые периодически накатывают на берег. Интересной особенностью волн такого типа является тот способ, которым они преодолевают препятст-вия - например, дыры в непрерывной стене волнолома . Рисунок 7-8 иллюстрирует этот процесс. Если размер отверстия сравним с длиной волны, то каждая последовательная волна создает в пределах отверстия всплеск, который, как и на рис. 7-7, служит источником круглой ряби в акватории порта. В результате между волнорезом и берегом возникают концентрические , “кольцевые ” волны.

Это явление известно как дифракция волн. Если же ширина дыры в волноломе будет намного больше, чем длина волны, то этого не случится - прошедшие через препятствие волны сохранят свою плоскую форму, разве что на краях волны возникнут слабые искажения

Подобно волнам на поверхности воды, существуют и трехмерные волны (3-d –волны). Здесь самый знакомый пример - это звуковые волны. Гребень звуковой волны - это область сгущения молекул воздуха. Рисунок, аналогичный рис. 7-7 для трехмерного случая представлял бы расширяющуюся волну в форме сферы.

Все волны обладают свойством преломления . Это эффект, который возникает когда волна проходит через границу двух сред, и попадает в среду, в которой она движется более медленно. Особенно наглядно выглядит этот эффект в случае плоских волн (см. рис. 7-9 ). Та часть плоской волны, которая оказалась в новой, “медленной”, среде движется в ней с меньшей скоростью. Но поскольку эта часть волны неизбежно остается связанной с волной в “быстрой” среде, её фронт (пунктирная линия в нижней части рис.7-9) должен изломиться, то есть приблизиться к границе раздела двух сред, как это и показано на рис. 7-9.

Если же изменение скорости распространения волны происходит не скачком, а постепенно, то и поворот фронта волны будет происходить тоже плавно. Это, кстати, объясняет причину того, почему волны прибоя, независимо от того, как они двигались в открытой воде, почти всегда параллельны береговой линии. Дело в том, что с уменьшением толщины водного слоя скорость волн на его поверхности уменьшается , поэтому у берега, где волны попадают в область мелководья, они замедляются. Постепенный поворот их фронта и делает волны практически параллельными береговой линии.

Волны на поверхности воды - есть совокупное колебание частиц поверхностной массы воды под действием внешней силы: ветра, прилива, подводного землетрясения, идущего теплохода и др. Линия, на которой лежат все точки вершины одного гребня, называется фронтом волны (Фронт волны только на небольшом расстоянии может быть изображен прямой линией; обычно это плавная кривая.).

Рис. 19.8 . Элементы волны

Рис. 19.9 . Структура обычных волн (вид сверху)

Рис. 19.10 . Параметры волны

Параметры волны (по поперечному срезу):

h - высота (Как видно из рисунка 19.9 (вид волн сверху) высота волны h вдоль ее фронта не одинакова и колеблется от hmin до hmax.); λ - длина; - крутизна; С - скорость движения; N° - угол между вектором скорости С и направлением на N (север); τ - период, т. е. время, за которое волна проходит свою длину.

К параметрам волны можно отнести и форму ее поперечного среза, например:

Можно выделить тип волн под названием: «толчея», которая получается при встрече волн примерно одинаковой высоты, но идущих с разных направлений. В толчее больших волн управление судами (в т. ч. яхтами) затруднительно.

«Мертвая зыбь » имеет гладкую пологую (гармоническую) форму волн, обычно большой длины (λ) и случается в штиль. Это волнение по инерции, когда ветра уже нет. Мертвая зыбь может быть волнами, вслед за которыми придет шторм.

Волны обладают свойствами:

• отражаются от препятствий (угол падения равен углу отражения);
• накладываться друг на друга: отраженная волна на основную или от разных источников;
• сохранение инерции в течение некоторого времени (силы, вызвавшие волны прекратили действовать, а волны продолжают свой бег);
• волны, вызванные действием ветра не всегда движутся по направлению ветра. Ветер может изменить свое направление, а волны будут двигаться как прежде (снова инерция);
• на мелководье, где глубина меньше длины волны, изменяется форма волны, уменьшается ее длина (λ) и увеличивается скорость (с) и высота (h), но период (τ) остается прежним;
• плавающие водоросли, сильный дождь, мелкий лед, разлитое масло сглаживают волны.

Во время плавания на яхте параметры волны (h и λ) определяют глазомерно. Величину τ можно замерить бросив лист бумаги в воду и пустив секундомер в момент появления листа на вершине гребня. Секундомер останавливают на 11-м появлении листа на вершине гребня и получают время t = 10τ. Зная τ и λ можно вычислить скорость движения волны C=λ/τ.

Другие формулы вычислений дают:

С м/с = 0,65 × τ с 2 (или С узл = 3 × τ с)

С м/с = 1,2√λ м; λ м = 1,56 × τ с 2 ;

(при шторме ).

Для внутренних водоемов, где разбег волн всего несколько километров и преобладает крутая волна пользуются формулой:

λ м = τ с 2 .

Приведенные формулы приблизительны и справедливы для волн средней величины на момент их наблюдения.

Каждый яхтсмен в плавании имеет дело с ветром и волнами. Все эти составляющие влияют на ход яхты и могут не только способствовать ее продвижению, но и оказывать вредное действие. Задача яхтсмена выделить вредные факторы и свести их влияние к минимуму, если их не удается избежать (например обойти) и, в то же время, желательно воспользоваться в полной мере их полезными составляющими. Это имеет место и при плавании на волнении.

1. При встречном волнении, особенно, когда крутая волна и длина ее 1 ÷ 1,5 длины яхты, очень важно выбирать гладкие участки воды (это возможно! См. структуру волн вид сверху) и не направлять яхту точно против набегающей волны - будет мощный удар, останавливающий яхту. Лучше волне подставлять скулу и дать яхте мягко взойти на гребень, а затем немного увалить. Таким образом, яхта будет идти среди волн зигзагом, выбирая гладкие участки, приводясь и уклоняясь от резких ударов и даже ускоряясь, несколько уваливая при сходе с гребня в ложбину. Путь яхты несколько удлинится, но потери времени на переход будут минимальны.
2. А. При попутном или боковом волнении управление яхтой доставляет удовольствие. Набегающий гребень (его лучше встречать с бакштага) подхватывает яхту и увлекает своим склоном вперед и ускоряет ее. Возникает ощущение полета, которое можно продлевать, правильно выбирая место для прохода гребня впереди идущей волны, на которой вновь можно получить ускорение и т. д. Вновь яхта будет идти зигзагообразным удлиненным путем, но в этом случае за счет существенного прироста скорости выигрыш будет очень ощутим.
   Б. Если же ход яхты опережает бег волн, следует изменять направление движения яхты так, чтобы она не упиралась в очередную гору воды, но пошла бы наискось скользя вдоль нее и была бы вновь подхвачена волной. Удлинившийся путь компенсируется с избытком возросшей скоростью хода яхты. Во всех случаях при сходе с гребня несколько уваливают, а при восхождении приводятся.

Описанные взаимодействия яхты с волнами быстро приучают рулевого к автоматизму управления. Это удивительно, но факт!

Волны, образующиеся на свободной поверхности воды, приводят в движение соприкасающийся с ними воздух. В большинстве случаев массой этого воздуха можно пренебречь по сравнению с массой жидкости. Тогда давление на свободной поверхности жидкости будет равно атмосферному давлению Наблюдения показывают, что при простейшем волновом движении отдельные частицы свободной поверхности воды описывают траектории, приближенно совпадающие с окружностью. В системе отсчета, движущейся вместе с волнами со скоростью их распространения, волновое движение является, очевидно, установившимся движением (рис. 80). Пусть скорость распространения волн равна с, радиус окружности, описываемой частицей воды, расположенной на свободной поверхности, равен а период обращения этой частицы по своей траектории равен Тогда в указанной системе отсчета скорость течения на гребнях волн будет равна

а во впадинах волн

Так как разность высот между наивысшим и наинизшим положениями точек свободной поверхности равна то, применяя уравнение Бернулли к линии тока, расположенной на свободной поверхности, мы получим:

или, после подстановки вместо и их значений,

откуда следует, что

Радиус в эту формулу не входит, следовательно, скорость распространения волн не зависит от высоты волн. При распростраении волн гребень волны продвигается за время на расстояние называемое длиной волны, следовательно,

Исключая из равенств (60) и (61) период мы получим:

Таким образом, для волн на поверхности воды скорость их распространения, в отличие от звуковых волн, сильно зависит от длины волны. Длинные волны распространяются быстрее, чем короткие. Волны с разной длиной могут налагаться друг на друга без заметного взаимного возмущения. При этом короткие волны как бы приподнимаются длинными волнами, но затем длинные волны уходят вперед, а короткие остаются позади них. Линии тока в системе отсчета, неподвижной относительно невозмущенной воды, показаны на рис. 81. Из расположения линий тока видно, что скорость движения воды очень быстро убывает с увеличением глубины, а именно, пропорционально уменьшению величины следовательно, на глубине, равной длине волны, скорость составляет только скорости на свободной поверхности.

Рис. 81. Линии тока волнового движения

Точная теория показывает, что формула (62) справедлива только для низких волн, причем независимо от их высоты. Для высоких волн скорость с в действительности несколько больше того значения, которое дает формула (62). Кроме того, при высоких волнах траектории частиц воды, расположенных на свободной поверхности, получаются незамкнутыми: вода на гребне волны уходит вперед на большее расстояние, чем на то, на которое она возвращается назад во впадине волны (см. правую часть рис. 81). Следовательно, при высоких волнах происходит перенос воды вперед.

Для волн с небольшой длиной важным фактором является, кроме силы тяжести, также поверхностное натяжение. Оно стремится сгладить волновую поверхность, и поэтому скорость распространения волн увеличивается. Теория показывает, что в этом случае скорость распространения волн равна

где С есть капиллярная постоянная. Для длинных волн преобладающую роль играет первый член под знаком корня, а для коротких волн, наоборот, второй член. Для длины волны

скорость распространения с имеет минимальное значение, равное

Для воды дин/см, следовательно,

Волны, длина которых больше называются гравитационными, а волны, длина которых меньше капиллярными.

От скорости перемещения гребней волн, называемой фазовой скоростью (выше мы ее называли скоростью распространения волн и обозначали через с), следует отличать скорость распространения группы

волн, называемую групповой скоростью и обозначаемую через с. Проще всего разъяснить смысл этого понятия на примере движения, возникающего в результате наложения двух волн, имеющих равные амплитуды, но немного отличающихся своей длиной. Пусть мы имеем синусоидальную волну

где А есть амплитуда, время, а некоторые коэффициенты. При увеличении на у или на у синус принимает прежнее значение, следовательно, величина

есть длина волны, а величина

есть период колебаний. Если

т. е. если

то аргумент синуса не зависит от времени, поэтому не зависит от времени и ордината у. Это означает, что вся волна, не изменяя своей формы, перемещается вправо со скоростью

Наложим на эту волну вторую волну

т. е. волну с той же амплитудой А, но с несколько иными значениями Результирующим движением будет

В тех точках оси х, в которых фазы обоих колебаний совпадают, амплитуда равна в тех же точках, в которых фазы обоих колебаний

противоположны, амплитуда равна нулю. Такое явление называется биением. Применив известную формулу

мы получим:

В этом равенстве член

представляет собой волну, для которой коэффициенты при равны средним значениям от и соответственно от Множитель же

который при малых значениях разностей изменяется медленно, можно рассматривать как переменную амплитуду (рис. 82).

Рис. 82. Биение

Группа волн кончается в той точке, где косинус делается равным нулю. Скорость перемещения этой точки, называемая групповой скоростью с, на основании соображений, аналогичных предыдущим, равна

Для длинных групп, т.е. для медленных биений, с достаточной точностью можно принять, что

Для волн, возникающих под действием силы тяжести, из формулы (60) мы имеем:

Но, согласно равенству (65),

следовательно,

С другой стороны, подставив в формулу (62) значение из равенства (64), мы получим:

Отсюда, диференцируя по и имея в виду равенство (67), мы найдем:

Таким образом, группы волн распространяются со скоростью с, равной половине фазовой скорости, иными словами, гребни в группе волн перемещаются со скоростью, в два раза большей, чем сама группа волн; на заднем конце группы все время возникают новые волны, а на переднем конце группы они исчезают. Это явление очень легко наблюдать на волнах, вызванных падением камня в неподвижную воду.

Все сказанное относится не только к волнам на поверхности воды, но и к любым другим волнам, фазовая скорость которых зависит от длины волны.

Другим видом групп волн являются волны, возникающие на поверхности воды при движении корабля. Картину волн, очень похожую на корабельные волны, легко получить, если на поверхности покоящейся глубокой воды заставить двигаться с постоянной скоростью точечный очаг возмущения давления. Возникающее при этом движение может быть исследовано математически. Согласно вычислениям В. Томсона (lord Kelvin), Экмана (Ekman) и других, получается система волн, изображенная на рис. 83, на котором наклонными линиями обозначены гребни волн. Эта система волн перемещается вместе с очагом возмущения. Длина поперечных волн на основании формулы (62) равна

где с есть скорость перемещения очага возмущения. При движении корабля образуются две системы таких волн - одна около носа, другая около кормы корабля, причем волны обеих систем интерферируют друг с другом.

Рис. 83. Система волн, образующихся при равномерном движении на поверхности воды очага возмущения давления

Групповая скорость капиллярных волн, как нетрудно показать путем расчета, аналогичного сделанному для гравитационных волн, больше фазовой скорости, а именно, в предельном случае очень малых волн, в 1,5 раза. Следовательно, если очаг возмущения движется с постоянной скоростью, то группы волн его опережают. Около лески удочки, опущенной в реку, скорость течения которой больше 23,3 см/сек, образуются вверх по течению капиллярные волны, а вниз по течению - гравитационные волны, причем последние имеют приблизительно такую же форму, как на рис. 83, а первые расходятся вверх по течению в виде дуг окружностей. При скоростях движения очага возмущения, меньших 23,3 см/сек, волны не образуются.

На поверхности соприкосновения двух жидкостей различной плотности, расположенных одна над другой, также могут возникать волны. Если обе жидкости неподвижны и плотности их равны то теоретический расчет дает для фазовой скорости волн величину

Если верхняя жидкость течет со скоростью относительно нижней, то теория показывает, что возникающие волны устойчивы только в том случае, если их длина достаточно велика. Короткие же волны, подобно тому, как это было показано в § 7 для движения двух потоков жидкости вдоль поверхности раздела, неустойчивы, что приводит к перемешиванию обеих жидкостей в промежуточной зоне; это перемешивание восстанавливает устойчивость течения. При увеличении скорости граница между неустойчивостью и устойчивостью перемещается в сторону волн с большей длиной. Волны такого рода могут возникать также в атмосфере на границе двух слоев воздуха разной плотности, движущихся относительно друг друга; иногда эти волны делаются видимыми благодаря образованию так называемых волнистых облаков.

При движении воздуха над поверхностью воды также образуются волны. Однако теория таких волн, основанная на предположении отсутствия трения, приводит к результатам, противоречащим

действительности. Так, например, вычисления В. Томсона показали, что минимальная скорость ветра, необходимая для образования на поверхности воды волн, должна составлять круглым числом причем возникают волны, обладающие минимальной скоростью распространения см/сек и длиной волны см (при большей скорости ветра получаются, конечно, волны с большей длиной). Между тем в действительности для образования волн достаточно ветра со скоростью Согласно исследованию Джеффри это объясняется тем, что вследствие трения распределение давления на поверхности волны делается несимметричным, и поэтому ветер, если его скорость больше фазовой скорости волн, совершает на гребне каждой волны работу. Мотцфельд, измерив распределение давления на поверхности моделей водяных волн, нашел, что сопротивление, которое воздух оказывает движению волн, пропорционально полуторной степени наклона поверхности волны в точке перегиба относительно горизонта, а также квадрату разности между скоростью ветра и фазовой скоростью волн. Далее, Мотцфельд путем расчета нашел, что наклон поверхности волны в точке перегиба, зависящий от фазовой скорости с, получается наибольшим при

Этой скорости с соответствует, на основании формулы (62), волна длиной

Если принять во внимание поверхностное натяжение, которое Мотцфельд не учитывал, то расчет показывает, что для возникновения легкого волнения на поверхности воды достаточно, в полном соответствии с наблюдениями, ветра со скоростью, немного превышающей 23,3 см/сек.

Формулы, выведенные выше, пригодны только для волн на глубокой воде. Они еще достаточно точны, если глубина воды равна половине длины волны. При меньшей глубине частицы воды на поверхности волны описывают не круговые траектории, а эллиптические, и зависимость между длиной и скоростью распространения волн получается более сложной, чем для волн на глубокой воде. Однако для волн на

очень мелкой воде, а также для очень длинных волн на средней воде только что указанная зависимость принимает опять более простой вид. В обоих последних случаях вертикальные перемещения частиц воды на свободной поверхности весьма незначительны по сравнению с горизонтальными перемещениями. Поэтому можно опять считать, что волны имеют приблизительно синусоидальную форму. Так как (траектории частиц представляют собой очень сплющенные эллипсы, то влиянием вертикального ускорения на распределение давления можно пренебречь. Тогда на каждой вертикали давление будет изменяться по статическому закону, и разности высот жидкости будут обусловливать практически только горизонтальные ускорения. Мы ограничимся здесь вычислениями лишь для случая движения «вала» воды, изображенного на рис. 84. Эти вычисления очень простые и в дальнейшем будут нами использованы для исследования распространения возмущения давления в сжимаемой среде (см. § 2 гл. IV).

Рис. 84. Вал на поверхности воды

Пусть на поверхности воды над плоским дном распространяется со скоростью с справа налево вал шириной повышающий уровень воды от до Предположим, что до прихода вала вода находилась в покое. Скорость ее движения после повышения уровня обозначим через Эта скорость, отнюдь не совпадающая со скоростью с распространения вала, необходима для того, чтобы вызвать боковое перемещение объема воды в переходной зоне шириной вправо и тем самым поднять уровень воды с высоты до высоты Примем для простоты, что наклон вала по всей его ширине постоянен, следовательно, он равен Тогда, при условии, что скорость достаточно мала, чтобы ею можно было пренебречь по сравнению со скоростью с распространения вала, вертикальная скорость подъема воды в области вала будет равна должна быть мала также разность высот следовательно, это уравнение применимо только к низким валам, и поэтому только что упомянутое условие вполне оправдано.

К кинематическому соотношению (72) следует присоединить динамическое соотношение, которое легко вывести следующим образом. Объем воды шириной в области вала находится в ускоренном движении, так как частицы, составляющие этот объем, начинают свое движение на правом краю со скоростью нуль, а на левом краю имеют скорости Возьмем какую-нибудь частицу воды в области вала. Время, в течение которого над этой частицей проходит вал, очевидно, равно

поэтому ускорение частицы будет

Объем воды в области вала, если его толщину в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка, принять равной единице, имеет массу где Кроме того, каждый последующий вал распространяется не в неподвижной воде, а в воде, уже движущейся вправо со скоростью Это приводит к тому, что последующие валы догоняют предыдущие, в результате чего возникает крутой вал конечной высоты.

Исследование распространения вала конечной высоты можно выполнить при помощи теоремы о количестве движения совершенно таким же образом, как это было сделано в § 13 при рассмотрении внезапного расширения потока. Для того чтобы движение воды при распространении вала можно было рассматривать как установившееся, расчет следует вести в системе отсчета, движущейся вместе с валом. Скорость распространения вала конечной высоты больше чем